3.2. Pitagorász-tétel

Talán az egész matematika leghíresebb tétele a következő.

5. tétel (Pitagorász-tétel). Derékszögű háromszögben az átfogó négyzete megegyezik a befogók négyzeteinek összegével:

A tételre (állítólag) több mint 200 féle különböző bizonyítás ismert. Mi az előkészületeink után kényelmes helyzetben vagyunk.

Bizonyítás. A 3.1. és 3.2. gyakorlatok alapján felírhatjuk a beírt kör sugarát kétféleképpen:

Felhasználva, hogy , a tétel következik a fenti egyenlőségből, ha mindkét oldalt megszorozzuk -vel.
Tekintsük meg a tétel egy látványos szemléltetését a youtube-on.

3.3. gyakorlat. Számítsuk ki az  oldalhosszúságú szabályos háromszög területét!

A tétel megfordítható, a megfordítást később igazoljuk:

6. tétel (Pitagorász-tétel megfordítása). Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

Végül egy nevezetes tételt tűzünk ki gyakorlatként, ami a Pitagorász-tétel következménye.

7. tétel (Paralelogramma-tétel). Mutassuk meg, hogy a paralelogramma oldalainak négyzetösszege, megegyezik az átlóinak négyzetösszegével! Azaz, ha egy paralelogramma oldalai  és , átlói pedig  és , akkor 

Bizonyítás. Írjuk fel a Pitagorász-tételt 6. ábrán látható derékszögű háromszögekre:
-re kapjuk, hogy .

-re , míg -re .

Utóbbi kettőt összeadva, és a négyzetreemeléseket elvégezve, egyszerűsítve adódik, hogy . Végül ebbe a legelső Pitagorász-tételt beírva kapjuk a paralelogramma-tételt:  

Paralelogramma-tétel a GeoGebraTube-on.